KRITIK ABSOLUT FILSAFAT MATEMATIKA

1.      Pengenalan

Filsafat matematika memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika serta memahamkan kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Tujuan utama bab ini adalah  menjelaskan dan mengupas secara rinci pandangan epistemologis  matematika. Adalah benar bahwa  kebenaran matematika mutlak, bahwa matematika adalah salah satu  pengetahuan alam yang tidak perlu dipertanyakan dan bersifat obyektif. Hal ini berlawanan dengan pandangan fallibilis yang menentang bahwa kebenaran matematika adalah sesuatu yang dapat diperbaiki dalam arti dapat direvisi dan dikoreksi.

Banyak yang membuat  absolutis-fallibilis berbeda. Seperti ditunjukkan kemudian,  dari dua pandangan  filosofis tersebut, faktor epistemologis adalah hal yang paling penting yang mendasari pengajaran matematika.

2.      Filsafat Matematika

      Filsafat matematika adalah cabang filsafat yang merenungkan dan menjelaskan sifat matematika. Ini adalah makna dari epistemologi yaitu menjelaskan pengetahuan manusia pada umumnya. Filsafat matematika membahas pertanyaan seperti: apa yang menjadi dasar pengetahuan matematika? Bagaiman sifat kebenaran matematika? Apa karakteristik kebenaran matematika? Apakah pembenaran untuk pernyataan-pernyataan yang ada? Mengapa kebenaran matematika adalah suatu kebenaran yang penting?

Pendekatan epistemologinya adalah dengan mengasumsikan bahwa  pengetahuan dibidang apapun, diwakili oleh satu set proposisi bersama dengan satu prosedur untuk memverifikasinya atau memberikan pembenaran atas pernyataan-pernyataannya. Atas dasar ini,  pengetahuan matematika terdiri dari proposisi beserta pembuktiannya. Karena pembuktian matematika didasarkan pada alasan itu saja, tanpa bantuan data empiris, pengetahuan matematika dipahami sebagai pengetahuan yang paling pasti dari semua pengetahuan. Secara tradisional,  filsafat matematika merupakan  penyedia dasar kepastian pengetahuan matematika. Artinya, menyediakan sistem dimana pengetahuan matematika secara sistemik dapat membangun kebenarannya sendiri. Hal ini tergantung pada asumsi secara luas, implisit atau eksplisit.

      Asumsi.

Peranan filsafat matematika adalah memberikan landasan yang sistematis dan mutlak untuk pengetahuan matematika  yaitu kebenaran matematika. Kebenaran matematika merupakan Asumsi yang mendasari pondasi doktrin fungsi filsafat  matematika. Pondasi tersebut terikat pada pandangan absolutis matematika. Dalam hal ini, pembenaran menjadi pandangan utama filsafat matematika.

3.      Sifat  Pengetahuan Matematika

Secara tradisional, matematika telah dilihat sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid  membangun struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun yang lalu dalam ‘Elemen’, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk menetapkan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen dalam prisipia, dan Spinoza dalam etika, untuk memperkuat klaim mereka menjelaskan kebenaran secara sistemik. Dengan demikian matematika telah lama dianggap sebagai sumber pengetahuan paling pasti bagi manusia.

Pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan proposisional terdiri dari proposisi-proposisi yang dapat diterima filsafat (percaya), asalkan ada dasar pengetahuan yang dapat menegaskannya (sheffler, 1965; Chisholm, 1966; woozley, 1949). Pengetahuan diklasifikasikan menurut  dasar alasan untuk pernyataannya. Pengetahuan apriori terdiri dari proporsi yang menegaskan atas dasar alasan itu saja, tanpa bersumber dari pengamatan di dunia. Alasan itu konsisten untuk penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya ditemui dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan aposteriori terdiri dari pernyataan yang  menegaskan dasar pengalaman berdasarkan pengamatan di dunia. (Woozley, 1949).  Dalam hubungannya dengan serangkaian asumsi aksioma-aksioma  matematika atau postulat, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi fondasi pengetahuan matematika yaitu alasan untuk menegaskan kebenaran pernyataan matematika, terdiri dari bukti deduktif.

Bukti dari pernyataan matematika adalah urutan terbatas yang memenuhi properti berikut. Setiap pernyataan adalah aksioma yang diambil dari aksioma sebelumnya  atau diperoleh dengan aturan inferensi dari satu atau lebih pernyataan sebelumnya dalam urutan. 'Set aksioma'  istilah yang telah dipahami secara luas, memasukkan semua pernyataan yang mengarah kepada bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, postulat dan definisi.

4.      Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika

Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari kebenaran mutlak. Banyak filosof, baik modern dan tradisional, memiliki pandangan absolut tentang pengetahuan matematika. Menurut Hempel:Kamus

1.artikel

itu

sang

-nya

“Keabsahan matematika berasal dari syarat yang menentukan makna dari konsep-konsep matematika, bahwa pernyataan matematika pada dasarnya benar secara definisi”.
Pendukung lain kepastian matematika berasal dari Jayer, seperti berikut, 
“Apabila suatu generalisasi ilmiah mudah menjadi keliru, kebenaran logika tampaknya pasti akan diperlukan. Kebenaran-kebenaran matematika adalah pernyataan analitik atau tautologies”. Kepastian suatu pernyataan apriori tergantung pada kenyataan bahwa pernyataan tersebut termasuk tautologi. Pernyataan analitik benar jika hanya dalam kebajikan tentang kekonsistenan, dan karenanya tidak dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta pengalaman (Ayer, 1946, masing-masing halaman 72, 77 dan 16).

A.     Logika

Logika lebih dulu dianggap sebagai bagian dari logika ilmu pasti matematika. Pendukung utama  dari pandangan ini adalah G.Leibniz, G.frege (1893),   B.Russel (1919), A.N whitehead dan R. Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russel klaim logika menerima formulasi yang paling jelas dan eksplisit. Ada dua klaim:

1.      Semua konsep matematika pada akhirnya dapat direduksi menjadi konsep logis, asalkan untuk memasukkan konsep set atau sistem kekuasaan yang mirip, seperti Teori Russel.

2.       Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi logika.

Jika semua matematika dapat dinyatakan dalam istilah murni logis dan terbukti dari prinsip-prinsip logis saja,  kepastian pengetahuan matematika dapat tereduksi menjadi logika tersebut. Logika dianggap memberikan landasan tertentu untuk kebenaran, selain terlalu ambisius, upaya untuk memperpanjang logika seperti hukum Kelima Frege. Melalui program logistis akan memberikan dasar logis untuk pengetahuan matematika, mendirikan kembali kepastian yang mutlak dalam matematika.

Whitehead dan Russel (1910-1913) mampu membangun klaim pertama dari klaim dua melalui rantai definisi. Namun logis kandas pada klaim kedua. Kenyataanya matematika membutuhkan aksioma non-logis seperti aksioma tak terhingga (himpunan semua bilangan asli adalah tidak terbatas) dan aksioma pilihan (produk Cartesian dari himpunan tidak kosong).

Tapi meskipun semua pernyataan logis dapat dinyatakan dalam bentuk konstanta logis bersama-sama dengan variabel,  sebaliknya, semua pernyataan dapat menyatakan cara ini adalah logis. Aksioma ketidakterbatasan sebagai contoh dari proposisi yang meskipun dapat diucapkan dalam hal logis tetapi tidak dapat menegaskan dengan logis untuk menjadi kenyataan (Russel, 1919, halaman 202-3, penekanan asli).

Teorema Matematika tergantung pada Sebuah set asumsi matematika tereduksi.  Memang, sejumlah aksioma teorema matematika tergantung pada kumpulan asumsi dan negasi tanpa inkonsistensi (Cohen, 1966), sehingga klaim kedua yang logistis disangkal.

B.     Formalisme

       Dalam istilah populer, formalisme adalah suatu pendapat bahwa matematika tanpa arti yang formal. Jejak filosofi formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan-tulisan Uskup Berkeley, tapi para pendukung utama dari formalisme adalah David Hilbert (1925), awal J. von Neumann (1931) dan H.Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal.  Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkan mitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui bukti konsistensi.

Tesis formalis terdiri dari dua klaim:

1.      Matematika murni dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang ditafsirkan dengan kebenaran matematika, diwakili oleh teorema formal.

2.       Keamanan dari sistem formal dapat ditunjukkan dalam hal kebebasan mereka dari inkonsistensi, melalui meta-matematika.

 Ketidak lengkapan Teorema  Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano (atau setiap aksioma set yang rekursif  lebih besar). Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale  (Genten, 1936). Mungkin Formalis dapat memberikan dukungan bagi pandangan absolutis sistem matematika, memberikan tantangan bagi kebenaran matematika. Namun, Tidak semua kebenaran matematika dapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan lebih jauh lagi, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.

C.     Konstruktivisme

Kontrutivisme dalam  filsafat matematika dapat ditelusuri dari tokoh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Menurut paham konstruktivisme, pengetahuan diperoleh melalui proses aktif individu mengkonstruksi arti dari suatu teks, pengalaman fisik, dialog, dan lain-lain melalui asimilasi pengalaman baru dengan pengertian yang telah dimiliki seseorang. Tujuan pendidikannya menghasilkan individu yang memiliki kemampuan berpikir untuk menyelesaikan persoalan hidupnya. Program konstruktivisme adalah salah satu yang merekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi praktek matematika) untuk menjaganya dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak argumen non-konstruktif seperti pembuktian Cantor bahwa  bilangan real adalah uncountable dan hukum logis.

Para konstruktivis yang paling terkenal adalah intuisionis  L. E. Brouwer (1913) dan Heyting (1931,19560).  Baru-baru ini  matematikawan E. Bishop (1967) telah melakukan program konstruktivisme dengan merekonstruksi sebagian analisis substansial, dengan cara konstruktif. konstruktivisme mencakup berbagai macam pandangan yang berbeda, ultra-intiusionis dari A.Yessenin (yang ketat menurut intiusionis filosofis L.E Brouwer),  intuitionis tengah (A.Heyting dan H.Weyl), intuitionis logika modern (A. Troelstra) pada jangkauan konstruktivis kurang lebih liberal termasuk P.Lorezon dan Martin. Berbagai pandangan, misalnya  pandangan bahwa matematika klasik mungkin tidak cukup kuat dan perlu dibangun kembali melalui  metode konstruvisme dan penalaran. Konstruvisme  mengklaim bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus ditetapkan melalui  metode konstruktif. Ini berarti bahwa konstruksi matematika dibutuhkan untuk mendirikan kebenaran atau keberadaan, dibandingkan dengan metode mengandalkan bukti oleh kontradiksi. Untuk konstruktivis pengetahuan, harus dibangun melalui bukti-bukti yang konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan sesuai dengan dengan prosedur konstruktif. Meskipun beberapa Konstruktivis menyatakan bahwa matematika adalah studi proses konstruktif  yang dilakukan menggunakan pensil dan kertas, oleh pandangan ketat intuisionis, oleh Brouwer, matematika memiliki tempat utama. Salah satu konsekuensi, Brower menganggap semua axiomasisasi besifat logika intuisi sehingga dianggap tidak pernah memiliki bentuk akhir.

Intuisionis merupakan konstruktif filosofi  paling lengkap dalam  matematika. Dua klaim dipisahkan dari intuisionis  yaitu tesis positif dan negatif Dumment.
Yang positif  menyatakan bahwa cara menafsirkan pengertian dari intuisionis matematika dan operasi logis adalah satu koheren dan sah, bahwa matematika intuistik  dipahami dari teori. Tesis negatif menyatakan bahwa gagasan matematis dan operasi logis adalah tidak koheren dan tidak sah  (Dumment 1977). Tesis negatif intuisionis ditolak.

Masalah lain untuk tampilan kontruktivisme adalah beberapa hal yang tidak konsisten dengan matematika klasikal. Misalnya, rangkaian bilangan real seperti yang didefinisikan oleh intuisionis adalah dapat dihitung. Ini bertentangan dengan faham klasik bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tetapi karena definisi bilangan real berbeda. Gagasan konstruktivisme sering memiliki arti yang berbeda dari pengertian klasik yang sesuai.

5.      Kekeliruan pada Paham Absolut (kemutlakan)

     Telah kita lihat bahwa sejumlah filosofi absolut (kemutlakan) matematika telah gagal membuat  keperluan pada pengetahuan matematika yang logis. ke tiga sekolah yaitu pemikiran logicism, formalism dan intuitionism ( mengabarkan  bentuk constructivism dengan sangat jelas) mencoba menyediakan suatu bentuk pondasi  untuk kebenaran matematika, menurunkannya dengan pembuktian matematika dari sesuatu yang terbatas tetapi  bidang yang pasti pada kebenaran. pada setiap kasus, ada peletakan pada  suatu dasar pengamanan  akan menjadi kebenaran yang mutlak. Untuk logist, formalists dan intuitionists ,terdiri dari axioma yang logis, prinsip- prinsip pasti secara  tidak sengaja pada  meta-matematika, dan axioma self-evident pada ‘intuisi purba’  secara berturut-turut. berbagai aksioma ini atau prinsip- prinsip diasumsikan tanpa demonstrasi. Oleh karena itu sisanya membuka tantangan, dan juga keraguan. sesudah itu masing-masing sekolah mempekerjakan dedukatif yang logis untuk mempertunjukkan kebenaran dalil matematika dari asumsi dasar mereka. Sebagai konsekwensi, ketiga sekolah ini yang pemikirannya gagal menetapkan kemutlakan kebenaran matematika secara pasti. Untuk dedukatif yang logis hanya menyebarkan kebenaran, tidak menyuntiknya, dan kesimpulan pada bukti yang logis adalah yang terbaik adalah seperti  pendapat yang paling lemah.

Dapat dikatakan bahwa ketiga sekolah ini gagal menyediakan pondasi untuk jajaran penuh pada yang akan menjadi kebenaran mathematika dalam pengertian ini. untuk ketidaklengkapan Dalil Godel yang pertama menunjukkan, Bukti tidaklah cukup untuk menunjukkan semua kebenaran. Dengan begitu, ada kebenaran pada matematika yang tidak yang dimiliki oleh sistem sekolah ini.

Kebenaran yang  mutlak dalam matematika masih menyisakan suatu matematika juga mempunyai suatu dampak yang sangat kuat pada cara matematika yang diajarkan ( Davis, 1967; Cooney, 1988; Ernest, 1988b, 1988c). Satu studi yang berpengaruh, menyimpulkan bahwa:

 Konsistensi yang diamati antara gambaran guru matematika dan cara mereka memperkenalkan secara khas isi menyarankan bahwa pandangan para guru, kepercayaan tentang matematika yang mempengaruhi praktek pengajaran mereka.

                                                                             Thompos ( 1984, halaman 125)

Isu yang lain, pusat filosofi pendidikan matematika, dan mempunya praktek yangpenting  untuk pengajaran dan pelajaran matematika.

Bagian pertama dari buku  yang membicarakan tentang filosofi matematika. berisi suatu suatu pendekatan kritik yang  ada, dan suatu filosofi baru pada matematika. Karena walaupun paradigma tradisional berada di bawah serangan, novel dan perjanjian ide-ide di Zeilgeist belum disatukan. Konstruksi sosial ditawarkan untuk mengisi ruang.

Bagian kedua  menyelidiki filosofi pendidikan matematika. menunjukkan bahwa banyak aspek pendidikan matematika bersandarkan pada asumsi filosofis. Dengan menemukan beberapa di antara mereka, tujuannya adalah untuk meletakkan suatu alat kritik  pada para guru dan peneliti.

Catatan:

1.      Suatu kerancuan sistematis harus diberi isyarat. Filosofi matematika adalah keseluruhan bidang filosofis memeriksa sifat alami matematika. sebaliknya, filosofi matematika adalah catatan atau pandangan tertentu pada sifat alami matematika. Secara umum,  pengertian  ini diberi tanda dengan  penggunaan yang tertentu atau benda yang tidak tentu (bentuk jamak) berturut-turut.

2.      Seharusnya disebutkan bahwa sikap negatif  matematika telah dihubungkan dengan pandangan ( B) pada para siswa SMP.

6.      Kritik Fallibilist Kemutlakan ( Absolute)

Perhatian  yang pertama berdasarkan logika pada pembuktian matematika. Penetapan kebenaran matematika, bahwa pengurangan dalil untuk satu set aksioma, memerlukan asumsi  ,yaitu aksioma dan peraturan yang berpengaruh pada logika itu sendiri. Ini tidak sepele, asumsi non-eliminable, argumen diatas (sifat tak dapat dijabar pada asumsi lingkaran yang tak berujung pangkalnya) diterapkan pada logika. dengan begitu kebenaran matematika tergantung pada logika seperti halnya asumsi matematika.

Masing-Masing asumsi yang berikut adalah suatu kondisi perlu untuk  kepastian  didalam matematika. Masing-Masing, yang diperdebatkan, adalah suatu asumsi penganut kemutlakan tak beralasan.

Asumsi A

Pembuktian bahwa para ahli matematik menerbitkan keabsahan untuk menyatakan dalil dapat, pada prinsipnya, diterjemahkan ke dalam bukti formal yang kaku.

 Asumsi B

 Bukti formal kaku dapat dicek untuk ketepatannya.

 Asumsi C

  Teori matematika dapat diterjemahkan ke dalam aksioma formal  secara sah.

 Asumsi D

 Konsistensi dari penyajian ini ( Asumsi C) dapat dicek.

7.      Pandangan  Fallibilist

Pandangan Penganut kemutlakan pengetahuan  matematica  telah menjadi pokok pada kesungguhan dan menurutku, kritik tidak dapat dibantah. Penolakannya membawanya ke arah yang berlawanan dengan pandangan fallibis pengetahuan mathematica. Pandangan ini bahwa  kebenaran matematika  adalah dapat dibenarkan dan dapat berbuat keliru, dan tidak pernah dapat dihormati sebagai revisi dan pembenaran. Format yang negatif berhubungan dengan penolakan paham absolut: pengetahuan mathematical bukanlah kebenaran absolut, dan tidak mempunyai kebenaran absolut. Bentuk positifnya adalah bahwa pengetahuan matematika adalah dapat dibenarkan dan terus menerus menerima revisi. Di bagian  ini saya ingin menunjukkan dukungan untuk pandangan fallibilist, di satu bwentuk atau lainnya, ini lebih luas dari yg  telah diharapkan. berikut adalah suatu pemilihan dari cakupan ahli logika, para ahli matematika dan ahli filsafat yang mendukung sudut pandang ini.

8.      Kesimpulan

Penolakan paham absolut (kemutlakan) seharusnya tidak dilihat sebagai pembuangan matematika dari Taman Firdaus, bidang kepastian dan kebenaran. 'Hilangnya kepastian' ( Kline, 1980) tidak menghadirkan hilangnya pengetahuan.

Ada penjelasan analogi dengan pengembangan dalam ilmu fisika modern. Teori Kenisbian Rampat diperlukan untuk melpaskan kemutlakan, kerangka acuan universal berpihak pada suatu perpective relativistic. Dalam Teori Kuantum, Asas Ketakpastian Heisenberg bahwa barang kelontong ttg pengukuran daya gerak dan posisi ditentukan pada partikel  nsur  juga harus diberi. Tetapi apa yang kita lihat di sini bukanlah hilangnya pengetahuan ttg kepastian dan rangka absolut. Lebih baik kita lihat pertumbuhan pengetahuan, membawanya pada suatu perwujudan batas dari apa yang dapat dikenal. Relatifitas Dan Ketidak-Pastian dalam ilmu fisika menghadirkan kemajuan utama dalam pengetahuan, membantu  mengambil batas pengetahuan ( untuk waktu lama teori ini ditahan).

Demikian juga dalam matematika, sebagai pengetahuan yang menjadi penemuan yang lebih baik dan kita belajar lebih banyak tentang basis nya, kita menyadari bahwa pandangan penganut kemutlakan (absolutis) adalah suatu pangangan-angan, amyth. Ini menghadirkan suatu kemajuan dalam pengetahuan, tak satu  tempat pengasingan pun  dari kepastian yang lampau. Taman Firdaus Penganut kemutlakan adalah tak lain hanya suatu surga orang bodoh.